Algèbre linéaire Exemples

$- 3 A = [\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 9 - λ & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 9 - λ & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 9 - λ & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 9 - λ) (- 3 - λ) - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Développez $(- 9 - λ) (- 3 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 9 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 9 \cdot - 3 - 9 (- λ) - λ (- 3 - λ) - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 9 \cdot - 3 - 9 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1.1

Multipliez $- 9$ par $- 3$ .

$p (λ) = 27 - 9 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.2.2

Additionnez $9 λ$ et $3 λ$ .

$p (λ) = 27 + 12 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- (- 2 \cdot - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$p (λ) = 27 + 12 λ + λ^{2} - 1 \cdot 2$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (λ) = 27 + 12 λ + λ^{2} - 2$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2$ de $27$ .

$p (λ) = 12 λ + λ^{2} + 25$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre $12 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 12 λ + 25$